Logika Informatika

TEORI HIMPUNAN

               

              1. Himpunan

Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan atau koleksi objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan (tak diperhatikan keberurutan objek – objek anggotanya). Objek – objek itu disebut anggota atau elemen himpunan .

Notasi Himpunan

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar, misal : A, B, C

            Anggota atau elemen dari himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, misal a, b,c

            Jika x milik himpunan A, ditulis x  A, dibaca “x adalah anggota himpunan A” atau “x milik himpunan A”. Jika objek y bukan milik himpunan A, ditulis y ∉ A

           

Cara Penulisan Himpunan

1. Dengan mendaftar semua anggota – anggotanya diantara kurung kurawal buka dan tutup

Contoh : A = {1,2,3,4} B = {p,q,r,s,t}

2. Dengan menyatakan sifat – sifat yang dipenuhi oleh anggota – anggotanya

Contoh : C = himpunan konsonan dalam abjad latin D = himpunan 5 bilangan ganjil pertama

3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh : C = {x | x adalah konsonan dalam abjad latin} D = {x | x adalah 5 bilangan ganjil pertama}

              2. Definisi – Definisi dalam Teori Himpunan

Himpunan Kosong (Null Set)

Dinyatakan dengan notasi ∅ atau { }

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota

Contoh : A = {x | x ² = – 1 , x bilangan asli}, maka A = { }

Himpunan Semesta (Universal Set)

Dinyatakan dengan notasi S atau U

Himpunan semesta adalah himpuann yang anggotanya semua obyek yang sedang dibicarakan.

Contoh : Semesta pembicaraan dari P = {e,o} adalah Q = {a,e,i,o,u}

Semesta pembicaraan dari P = {2,5,7} adalah Q = himpunan bil prima

Himpunan Hingga dan Takhingga

Himpunan Hingga (finite set) jika himpunan itu beranggotakan elemen – elemen berbeda yang banyaknya tertentu.

Himpunan Takhingga (infinite set) jika himpunan itu beranggotakan elemen – elemen berbeda yang banyaknya tidak tertentu.

Contoh :

             A = himpunan bilangan asli ganjil

A = {1,2,3,4,5,…….} adalah himpunan hingga

      B = himpunan pasir dalam gerobak adalah himpunan tak hingga

              3. Relasi Antara Himpunan

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B.

Notasi : A  B (A himpunan bagian dari B atau A subset dari B)

Contoh :

            - X = {1,3,5} adalah himpunan bagian dari Y = {1,2,3,4,5,6,7} karena 1,3,5 anggota dari X juga menjadi anggota Y, maka X  Y

       Himpunan yang Sama

Himpunan A dan himpunan B dikatakan sama yaitu A = B jika dan hanya jika A  B dan B  A

X = {1,2,3} dan Y = {2,3,1}

X = Y karena setiap anggota himpunan X juga anggota himpunan Y

P = {a,b,c,d} dan Q = {a,c,c,d,b}

P = Q karena setiap anggota himpunan A juga anggota himpunan B

Jadi penulisan ulang suatu himpunan tidak diperhatikan.

      Himpunan yang Berpotongan

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B. Notasi A B

Contoh :

A = {2,6,7,8} dan B = {7,8,9,10} merupakan dua himpunan yang berpotongan karena ada anggota A yang menjadi anggota B yaitu 7 dan 8.

Himpunan yang Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Notasi A║B

Contoh : P = {1,2,3} dan Q = {4,5,6} merupakan himpunan yang saling lepas

Bilangan Kardinal

Bilangan kardinal himpunan A adalah banyaknya anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan A. Ditulis n (A).

Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen (ditulis A ∞ B) jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama.

Contoh :

            - A = {a,b,c,d} maka n (A) = 4

            - P = {1,2,3} dan Q = {a,b,c} maka P ∞ Q karena n (P) = n (Q)

Diagram Venn

Cara yang sederhana dan mudah untuk menggambarkan relasi antara dua himpunan dengan menggunakan diagram Venn. Digambarkan dalam daerah lingkaran untuk mewakili anggota – anggota himpunan yang dimaksud. Bentuk persegi panjang untuk menyatakan himpunan semesta.

               

             

              4. Operasi Antar Himpunan

Gabungan (Union)

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A atau semua anggota B atau anggota kedua-duanya.

Notasi A B dibaca A gabungan B.

Irisan (Intersection)

Irisan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota – anggotanya termasuk anggota A dan anggota B.

Notasi A ∩ B dibaca A irisan B

             A ∩ B = {x | x ∈ A , x  B}

Komplemen

Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan anggota – anggota di dalam semesta pembicaraan yang bukan anggota A. Notasi A ^c

Contoh :

U = {x | x huruf latin} dan A = {x | x huruf konsonan}

Maka A ^c = {x | x huruf vokal} = {a,e,i,o,u}

Selisih Dua Himpunan

Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen – elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B atau dengan kata lain irisan A dan B ^c

        A – B = A ∩ B ^c

Contoh :

A = {a,b,c,d} dan B = {p,q,b,d}

A – B = {a,c} dan B – A = {p,q}

Jumlah Dua Himpunan

Jumlah dua himpunan A dan B adalah himpunan A atau anggota B tetapi bukan anggota persekutuan A dan B.

Contoh :

P = {1,2,3} dan Q = {3,4,5}

P + Q = {1,2,4,5}

Hukum dalam Aljabar Himpunan

1. Idempoten

A  A = A

A ∩ A = A

2. Asosiatif

(A  B)  C = A  (B  C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. Komutatif

A  B = B  A

A ∩ B = B ∩ A

4. Distributif

A  (B ∩ C) = (A  B) ∩ (A  C)

A ∩ (B C) = (A ∩ B)  (A ∩ C)

5. Identitas

A  ∅ = A

A  S = S

A ∩ S = A

A ∩ ∅ = ∅

6. Komplemen

A  A ^c = S

(A ^c) ^c = A

A ∩ A ^c = ∅

S ^c = ∅, ∅ ^c = S

7. De Morgan

(A B) ^c = A ^c ∩ B ^c

(A ∩ B) ^c = A ^c  B ^c

8. Penyerapan

A  (A ∩ B) = A

A ∩ (A  B) = A

Aplikasi Himpunan dan Diagram Venn

Contoh :

Dari 100 mahasiswa pada semester ini 50 mahasiswa mengambil mata kuliah praktikum komputer, 54 mahasiswa mengambil mata kuliah Pancasila, 40 mahasiswa mengambil mata kuliah praktikum komputer dan Pancasila.

            a. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum komputer

            b. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah Pancasila

            c. Berapa mahasiswa yang mengambil mata kuliah praktikum komputer atau Pancasila

            d. Berapa mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah itu

Jawab :

Penyelesaian :

a. n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = 50 – 40 = 10

Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer sebanyak 10 mahasiswa

b. n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) = 54 – 40 = 14

Jadi mahasiswa yang mengambil Pancasila sebanyak 14 mahasiswa

c. n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 50 + 54 – 40 = 64

Jadi mahasiswa yang mengambil praktikum komputer atau Pancasila 64 mahasiswa

d. n(A  B) ^c = 100 – 64 = 36

Jadi mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut 36 mahasiswa

Dalam suatu angket penelitian diambil sebanyak 80 mahasiswa. Ternyata dari keseluruhan mahasiswa tadi yang senang mata kuliah matematika sebanyak 20 mahasiswa, yang senang mata kuliah statistika sebanyak 17 mahasiswa, dan yang senang kalkulus ada 25 mahasiswa. 10 mahasiswa yang menyenangi mata kuliah matematika dan statistika, 9 mahasiswa menyenangi statistika dan kalkulus, serta 12 mahasiswa yang menyenangi mata kuliah kalkulus dan matematika dan 5 mahasiswa yang mneyenagi ketiga mata kuliah tersebut.

            a. Berapa mahasiswa yang menyenangi mata kuliah statistika saja.

            b. Berapa mahasiswa yang menyenangi mata kuliah statistika atau kalkulus

            c. Berapa mahasiswa yang tidak satupun menyenangi ketiga mata kuliah tersebut.